Les superpolynomes symetriques dans les problemes a plusieurs corps de la mecanique quantique supersymetrique (French and English text)

S'inspirant de la supersymetrie, on construit dans cette these une nouvelle generalisation de la theorie des fonctions symetriques. Une theorie physique est supersymetrique si: (1) elle contient des bosons (particules de spin entier) et des fermions (particules de spin demi-entier); (2) elle reste inchangee suite a une transformation des bosons en fermions et vice versa. Les fonctions symetriques dans le superespace (superfonctions symetriques) incorporent a la fois des variables commutatives (bosoniques) et anticommutatives (fermioniques). Ces dernieres engendrent une algebre de Grassmann. Une superfonction symetrique est invariante sous l'echange simultane des variables bosoniques et fermioniques (action diagonale du groupe symetrique); elle se caracterise par une superpartition, i.e., une juxtaposition appropriee de partitions usuelles d'entiers non negatifs.; On utilise deux approches dans l'elaboration de la theorie des superfonctions symetriques: l'une provient de la combinatoire et l'autre, de la physique. Suivant la premiere approche, on obtient l'extension des elements standards de la theorie des fonctions symetriques fonctions monomiales, fonctions symetriques elementaires, fonctions completement symetriques, series de puissances, fonctions generatrices et formules de Cauchy. On demontre egalement qu'il existe une extension naturelle, a un parametre, du produit scalaire combinatoire defini par l'orthogonalite des series de puissances dans le superespace.; La seconde approche consiste a resoudre des problemes a N corps de la mecanique quantique supersymetrique. On etudie les extensions supersymetriques des modeles Calogero-Moser-Sutherland (CMS), lesquels decrivent l'evolution de particules dont le potentiel d'inter action est proportionnel a l'inverse du carre de la distance separant les particules. Deux modeles supersymetriques CMS sont resolus: trigonometrique (sur un cercle) et rationnel (sur une ligne) avec confinement harmonique. Leurs fonctions d'ondes sont respectivement les superpolynomes de Jack et d'Hermite a plusieurs variables. Ces superpolynomes symetriques sont orthogonaux par rapport aux produits scalaires usuels de la mecanique quantique et se decomposent de facon triangulaire en termes des superfonctions monomiales. Ils s'ecrivent explicitement a l'aide de determinants. Les superpolynomes de Jack sont aussi orthogonaux par rapport au produit scalaire combinatoire meme si ce dernier est different du produit scalaire physique. On prouve ainsi l'equivalence complete des approches combinatoire et physique dans la definition les superpolynomes de Jack.